Giriş

Güneş merkezli bir Evren düşüncesinin Kopernik ile başladığı varsayılmaktadır. Ancak erişilebilir kaynaklar üzerinden gerçekleştirilen tarihsel okumalar göstermektedir ki, Kopernik'ten çok önce, Eski Yunan ekolünde Güneş merkezli Evren düşüncesi zaten mevcuttur. Arşimet'in "Kumtaşları" eserinde atıfta bulunduğu Sisamlı Aristarkus'un öne sürdüğü varsayımlar, açıkça, Güneş'i hem Dünya'nın etrafında dairesel hareket yaptığı yörüngenin merkezine hem de uzaktaki sabit yıldızların üzerinde durduğu bir kürenin merkezine koyduğunu göstermektedir.

Kumtaşları'nda Arşimet, Aristarkus'un varsayımlarını sıraladığı kısmın hemen ardından Aristarkus'un bu düşüncesinin (Aristarkus'un, sözünü ettiği yörünge ve kürelerin boyutları hakkında bilgi vermemesinden ötürü) çeşitli geometrik yasaları ihlal ettiği düşüncesiyle Aristarkus'u eleştirmektedir ve Evren'in geometrik yasalar dahilinde büyüklüğü hakkında çıkarsamalar yapmaktadır. Bilindiği kadarıyla Aristarkus'un günümüze ulaşan tek eseri Arşimet'in atıfta bulunduğu varsayımları içeren yayını değil, "Güneş'in ve Ay'ın boyutları ve uzaklıkları üzerine" adlı kitabıdır. Söz konusu kitabın günümüze ulaşan sürümünde Aristarkus'un doğrudan Arşimet'in atıfta bulunduğu biçimiyle Güneş merkezli bir sistemden söz ettiği bir parça bulunmamaktadır. Hatta aynı eserin Önerme VII'ye ait şeklinde Dünya'nın merkezde olduğu, Güneş'in ve Ay'ın Dünya'nın etrafındaki yörüngelerde hareket ettiği gösterilirken, şekli tanıtan metinde de açıkça Aristarkus

"(...) Güneş'in merkezi A noktası; Dünya'nınki ise B noktası olmak üzere A ve B noktalarının bir araya gelerek bir doğru parçası oluşturduğu varsayımıyla; C'nin Ay'ın ilk dördün/son dördün evresindeki konumundaki merkezini temsil eden nokta olduğu durumda (...) Güneş'in merkezinin büyük EDA çemberinin üzerinde hareket ettiği (...)"

ifadeleriyle, şekildeki büyük EDA çemberinin merkezinde Dünya'nın merkezini temsil eden B noktası bulunduğu için en azından söz konusu eserinde, Dünya merkezli bakış açısını geometrik olarak yansıtmıştır denilebilir.

Aristarkus'tan sonra, ilerleyen zamanlarda artan gözlem sayısı ile gözlemlerin çeşitli karşılaştırma ve doğrulama yöntemleri aracılığıyla süzülmesi sayesinde Kopernik'in ortaya attığı Güneş merkezli anlayışın yeniden ortaya çıktığı düşünülmektedir. Ancak bu noktada belirtilmelidir ki, özellikle Kepler'e kadar olan kısımda, mevcut veriler ve Tyco Brahe'nin gözlemleri açısından bakıldığında gezegenlerin hareketini "hemen hemen aynı oranda kusurla" kestiren Batlamyus'un modelinin de "bilimsel ilerleme" anlamında yabana atılmaması gerektiğini söyleyen bilim insanları da bulunmaktadır. Örnek olarak Büyük Patlama fikrine karşı olduğu halde adını koyduğu düşünülen ve elementlerin oluşması için gereken çekirdek tepkimelerinin yıldızlarda gerçekleştiğine ilişkin kuramı ortaya atan Fred Hoyle'un da eleştirisinde açıkça belirttiği gibi, söz konusu boyutlar, ölçekler ve ölçümlerin sınırlılığı düşünüldüğünde gezegenlerin hareketine ait sistemin merkezinin Dünya ya da Güneş (ya da makalesinde de belirttiği üzere herhangi bir başka nokta) olması hiçbir sorun teşkil etmemektedir. Elbette bu durum, Kepler'in ortaya koyduğu "eliptik yörünge" düşüncesiyle bir araya getirildiğinde Kopernik'in -bir başka deyişle geliştirilmiş Aristarkus modelinin- gözlemleri daha iyi değil, kesin olarak (hatta bazı eksik/yanlış gözlemleri düzeltecek düzeyde) temsil ettiği sonucuna varılmasına yol açmaktadır.

Sisamlı Aristarkus, Güneş'in ve Ay'ın Boyutları ile Uzaklıkları ve Geometri

Gök Cisimlerinden Birim Çembere

Batlamyus'un "Matematiksel Sistem" (Büyük Kitap/İncelemele) adlı eserinde gök cisimlerinin hareketi ile ilgili modelinin hesaplamalarında kullanılmak üzere yay uzunluklarını tablolar türünden vermektedir. Tablolardaki hesaplamaların en önemli dayanakları arasında ise Aristarkus'un "Güneş'in ve Ay'ın boyutları ve uzaklıkları üzerine" adlı eserinde (Bölüm 12, Önerme IV-V ve Bölüm 13, Önerme VII) kullandığı yöntemler olduğu bilinmektedir.

Aristarkus, eserinde Ay'ı bir küre, Ay'ın Dünya'dan görünen yüzünü ise bir çember olarak modeller. Dünya ile Ay arasındaki uzaklık ve Ay'ın küre olmasından/varsayılmasından ötürü kabul edilen eğriliği nedeniyle Dünya'daki bir gözün görüş alanına Ay'ın "bir kısmı" girebilecektir. Ancak Önerme IV'te Aristarkus dolunayda Ay'ın aydınlık yüzünü temsil eden çember ile Ay'ın en büyük kesiti olan çemberin Dünya'dan bakıldığında birbirinden görsel olarak ayrılamayacağı kadar yakın boyutlarda olduğunu belirtir. Bir diğer deyişle, Ay'ın görünen yüzündeki aydınlık/karanlık ayrımını yapan doğru parçasının Ay'ın gerçek çapı ile arasındaki farkın ihmal edilebileceğini belirtir. Bu önerme ile Aristarkus, bütün hesapların Ay'ın evrelerinde Dünya'dan görünen çember üzerinden yapılabileceğini öngörür.

Aristarkus, Önerme V ile belirttiği kısmında ise Ay'ın görünen yüzünün yarı aydınlık olması durumunda (ilk dördün ya da son dördün evresinde) Dünya'daki gözlemcinin, Ay'ın merkezinin ve Güneş'in merkezinin aynı düzlemde olduğunu dile getirir ve bu düzlemde Dünya'daki gözlemci-Ay-Güneş üçlüsünün bir dik üçgen oluşturduğunu ortaya koyar. Dik üçgenin hipotenüsü ise Güneş'in merkezi ile Dünya'daki gözlemciyi bileştiren doğru parçasıdır. Önerme VI'da ise Aristarkus, düzlem geometrisindeki en genel senaryoyu ele alır.

Aristarkus Eşitsizliği

Yukarıdaki önermeler ve çıkarsamalar dahilinde Aristarkus bir çemberin çapı ile dar açı yapan yarıçap doğru parçasının taradığı yay uzunluğu ilişkisini ortaya koymak istemiştir. Bu çerçevede Aristarkus eşitsizliği aşağıdaki biçimde tanımlanabilir:

Bir çemberin çapı ile dar açı yapan yarıçap doğru parçasının taradığı yay uzunluğunun yayı tarayan dar açının karşısındaki kenarın uzunluğuna oranı açı arttıkça artar.

Yukarıdaki önermenin trigonometrik ifadesi ise 0 < a < b < \frac{\pi}{2} için \frac{a}{\sin{(a)}} < \frac{b}{\sin{(b)}} şeklindedir. Aristarkus eşitsizliği, geometrik olarak ya da seri açılımı gibi gelişmiş matematiksel araçlarla da kanıtlanabilir. Burada ise yalnızca geometrik kanıtın simgesel olarak gösterimi yöntemi benimsenecektir.

Aristarkus'un Eşitsizliğinin Trigonometrik Kanıtı

Aristarkus eşitsizliğinin sözel ifadesini, eşitsizliğin birim çeberin birinci bölgesinde tanımlı dar açılar üzerinden verilmesinden yararlanarak 0 < a < b < \frac{\pi}{2} için \frac{\sin{(b)}}{\sin{(a)}} < \frac{b}{a} biçiminde yeniden yazmak olanaklıdır. Buradan da:

a \sin{(b)} < b \sin{(a)}

elde edilir. Matematiksel kanıtın doğası gereği yukarıdaki eşitsizlik elde edilmeli, yukarıdaki eşitsizlikle başlanmamalıdır. O nedenle, öncelikle a < b için 0 < h olmak üzereb = a + h olduğu varsayılsın. Bu durumda:

\sin{(b)}  = \sin{(a + h)} = \sin{(a)} \cos{(h)}  + \sin{(h)} \cos{(a)}  

yazılabilir. Benzer şekilde:

\sin{(a)}  = \sin{(b - h)} = \sin{(b)} \cos{(h)}  - \sin{(h)} \cos{(b)}  

olacaktır. Aristarkus eşitsizliği, yayı tarayan dar açının karşısındaki kenarın uzunluğunu istenen bir yay uzunluğu ile ölçeklendirdiği için:

a \sin{(b)}  = a \sin{(a)} \cos{(h)}  + b\cos{(a)} \sin{(h)}   

ve

b \sin{(a)}  = b \sin{(b)} \cos{(h)}  - b\cos{(b)}\sin{(h)}

elde edilir. Artık Aristarkus'un eşitsizliğinde büyüklük karşılaştırması yapılacak bileşenlerin ikisi de elde olduğundan b \sin{(a)} - a \sin{(b)} ifadesinin işareti araştırılabilir. Öncelikle:

\begin{aligned}
b \sin{(a)} - a \sin{(b)} &= b \sin{(b)} \cos{(h)}  - b \sin{(h)} \cos{(b)} - [a \sin{(a)} \cos{(h)}  + a \sin{(h)} \cos{(a)}]\\

&= b \sin{(b)} \cos{(h)}  - b \sin{(h)} \cos{(b)} -  a \sin{(a)} \cos{(h)}  - a \sin{(h)} \cos{(a)}\\

&= (b \sin{(b)} - a \sin{(a)}) \cos{(h)} - (b \cos{(b)} + a \cos{(a)}) \sin{(h)}
\end{aligned}

elde edilir.

Dikkat edilirse, 0 < a < b < \frac{\pi}{2} olduğundan doğrudan a < b \Longleftrightarrow \sin{(a)} < \sin{(b)} yazılabilir. Dolayısıyla da a < b \implies a \sin{(a)} < a \sin{(b)}, a < b \implies b \sin{(a)} < b \sin{(b)}, a < b \implies a \sin{(b)} < b \sin{(b)} ve nihayetinde a \sin{(a)} < b \sin{(b)} geçişkenliği elde edilir. Bu sonuçla son eşitlik b \sin{(a)} - a \sin{(b)} < 0 olması durumuna yol açtığı varsayılarak yeniden ele alınırsa:

\underbrace{b \sin{(a)} - a \sin{(b)}}_{(-)}
=\underbrace{(b \sin{(b)} - a \sin{(a)}) }_{(?)}\underbrace{\cos{(h)}}_{(+)} + \underbrace{\underbrace{(b \cos{(b)} + a \cos{(a)})}_{(+)}\underbrace{\sin{(h)}}_{(+)}}_{(+)}

Yukarıdaki ifadeye göre b \sin{(a)} - a \sin{(b)} < 0 olması b \sin{(b)} - a \sin{(a)} < 0 durumunu zorunlu kılar: \underbrace{(b \sin{(b)} - a \sin{(a)}) }_{(?:(-))}. Ancak a \sin{(a)} < b \sin{(b)} olduğu bilindiği için b \sin{(a)} - a \sin{(b)} < 0 bir çelişki oluşturur. O nedenle a \sin{(b)} < b \sin{(a)} sonucu ortaya çıkar. Bir başka deyişle

\frac{\sin{(b)}}{\sin{(a)}} < \frac{b}{a}

elde edilmiş ve kanıt tamamlanmış olur. \blacksquare