Hesaplamaya Giriş

Bölüm I: Sayıların Gösterimi, İfadeler ve Çokterimliler

Sayıların Gösterimi

Sayıların ne olduğu ile ilgili tartışma bir yana bırakıldığında, sayıların taban kullanılarak gösterimi, matematikte oldukça yarayışlı bir kavramın kullanımını anlamada bir örnek olarak kullanılabilir (ayrıntılı inceleme için "Sayı Tabanları ve Sayıların Gösterimi" yazısı incelenebilir). Onluk tabanda bir sayı, örneğin $1903$ için:

$$1903= 3\times 10^{0} + 0\times 10^{1} + 9\times 10^{2} + 1\times 10^{3}$$

yazılabilir. Yukarıdaki gösterimde tabanın önemini vurgulamak için her bir 'basamağa' bir rakam gelecek şekilde $\left(\underline{1}\, \underline{9}\, \underline{0}\, \underline{3}\right)_{10}$ eşdeğer gösterimi de benimsenebilir. Dolayısıyla,

$$\left(\underline{1}\, \underline{9}\, \underline{0}\, \underline{3}\right)_{10}= 3\times 10^{0} + 0\times 10^{1} + 9\times 10^{2} + 1\times 10^{3}$$

elde edilir.

Eşdeğer gösterim, aşağıdaki kapsamda önemlidir:

• Taban değerinin tekrarlanarak yazılmasını engeller.
• Parantez içerisindeki simgelerin (Bu simgelerin rakam olarak adlandırılabilmesi için ileride değinilecek matematiksel bir yapıya ihtiyaç vardır. O nedenle simge sözcüğü burada tercih edilmiştir.) konumları/sıraları önemlidir.
• Parantez içerisinde herbir konum tek bir simgeye aittir.
• Gösterimin biricik olması istenir.

Özellikle son madde, eşdeğer gösterimin bir takım kurallarla birlikte gelmesini gerektirir. Aksi takdirde son madde devre dışı kalır. Bu durumu gösterebilmek için, eşdeğer gösterimin sağ tarafı dikkate alındığında $2003$ için

$$3\times 10^{0} + 10\times 10^{1} + 9\times 10^{2} + 1\times 10^{3}$$

ve

$$3\times 10^{0} + 0\times 10^{1} + 0\times 10^{2} + 2\times 10^{3}$$

gösterimleri söz konusu olabilir. Elbette eşdeğer gösterim için ilk toplam $\left(\underline{1}\,\underline{9}\,\underline{10}\,\underline{3}\right)_{10}$ simgeleri ile ifade edilmek zorunda kalır. Ancak bu eşdeğer gösterime ait toplam, yukarıdaki kapsamda değerlendirildiğinde:

$$\left(\underline{1}\,\underline{9}\,\underline{10}\,\underline{3}\right)_{10} = 3\times 10^{0} + 0\times 10^{1} + 1\times 10^{2} + 9\times 10^{3} + 1\times 10^{4}$$

olur ki, sayı/simge değişimi göz önünde buundurulduğunda

$$3\times 10^{0} + 0\times 10^{1} + 1\times 10^{2} + 9\times 10^{3} + 1\times 10^{4} \neq 3\times 10^{0} + 10\times 10^{1} + 9\times 10^{2} + 1\times 10^{3}$$

söz konusu olur.

İfadeler

Önceki tartışmalar ışığında, bu durumda onluk tabanda yazılabilecek sonlu $N\in\mathbb{N}$ sayısı için hem $B \in\mathbb{N}_{>0}$ hem de $b_{B-1}>0$ olmak kaydı ile aşağıdaki $B$ basamaklı ifade göz önünde bulundurulursa:

$$N = b_{0}\times 10^{0} + b_{1}\times 10^{0} + \cdots + b_{B-1}\times 10^{B-1}$$

yazılır. Açıktır ki, yukarıdaki ifadenin eşdeğer gösteriminin tutarlı ve biricik olabilmesi için$b_{k}\in\mathbb{N}_{<10}, \, \forall k$ koşulu sağlanmalıdır. Aksi takdirde, yukarıdaki örnekte gösterildiği üzere biriciklik ihlal olur. Biricikliğin ihlal olmasını engelleyen koşulun modüler aritmetik ile olan doğrudan bağlantısı aşikardır ve oldukça önemli bir noktadır. Birden fazla ifadenin birbirleri ile etkileşimi gündeme geldiği andan itibaren bu bağlantı daha da önem arz edecektir.

Çokterimliler

Yukarıda özellikle 'ifade' sözcüğü tercih edilmiştir çünkü ifadenin daha genel hali olan çokterimli nesnesi birçok özelliği bir arada bulunduran yapıdadır. Matematikte sıkça başvurulduğu üzere, çokterimlinin ne olduğundan daha çok hangi özellikleri, öznitelikleri ve ilişkileri barındıran bir nesne olduğunun söylenmesi daha uygun olur:

• Çokterimli bir ifadedir.
• Çokterimli üs (kuvvet), çarpma, toplama işlemleri üzerinden tanımlanır.
• Çokterimlinin tasvirinde yukarıdaki işlemlerin geçerliliğini sağlayan 'tanımı belirsiz(ler)' bulunur. Adından da anlaşılacağı üzere tanımı belirsiz(ler)in doğası hakkında hiçbir koşul yoktur. Doğal olarak tanımı belirsiz(ler)in üssünün/kuvvetinin ne anlam ifade ettiği de belirsizdir.
• Çokterimlinin üsleri mutlak surette doğal sayılardan seçilmelidir.
• Çokterimlinin en yüksek üssüne sahip tanımı belirsiz(ler)in derecesi sonlu olmalıdır.

Yukarıdaki çerçevede en genel haliyle bir çokterimli:

$$P(\alpha) =\sum\limits_{k=0}^{B-1}c_{k}\alpha^{k}$$

olarak yazılabilir ve $B\in\mathbb{N},\, B<\infty$iken $c_{k}$'lar sabitler/katsayılar olarak ifade edilir. Bu durumda $P$ bir çokterimli olup, $\alpha$, $P$ çokterimlisinin tanımı belirsizidir. İfadeler söz konusu olduğunda ise tanımı belirsiz tam olarak belirlenir ve $\alpha\in\mathbb{N}_{>0}$ olurken, $c_{k}\in\mathbb{N}$ olmak kaydı ile $c_{k}<\alpha$ koşulu biricikliği teminat altına almak için gereklidir.

Yukarıda görüldüğü üzere, ifadeler çokterimlilerin belirli kısıtlamalar altındaki özel halleridir denilebilir. Ancak çokterimli, tanımı belirsizin belirlenmesine kadar bir sayıya dönüşemez. Sayıya dönüşme özniteliği elde tutulmak istenirse, çokterimlinin kısıtlamalarının bir kısmının rahatlatılmasıyla bu kez bir tür genelleştirme elde edilir: biçimsel kuvvet serisi

Genişletilmiş Çokterimli Yapısı: Vektörler

Biçimsel kuvvet serilerine daha sonradan ayrıntılı değinilecektir. Ancak bu noktada söylenmesi gereken bir nokta daha vardır. Çokterimliler, en genel halleriyle, biriciklik özellikleri üzerinden sonlu boyutlu bir tür koordinat sistemi de oluşturmaktadırlar. Bu bakış açısıyla, tanımı belirsiz(ler)in doğası, söz konusu uzayın özelliklerini ve bu uzay üzerindeki noktaların (koordinatların) özellikleri hakkında bilgi verir. Somut bir örnek olması açısından tanımı belirsizin (yalın olması açısından tek bir belirsiz olduğu varsayılırsa) bir vektör olduğu düşünülürse, çokterimlinin sabitleri ilgili vektör uzayındaki koordinatları belirtir. Gerçekten de,

$$\vec{N} = \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} = 1\times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + 9\times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + 0\times \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 3\times \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

yazılabilir. Doğal olarak, $[\cdot]^{T}$ devrik işlemcisini göstermek üzere:

$$\alpha^{k} = \begin{bmatrix} a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{bmatrix}^{T}$$

ve

$$a_{m} = \begin{cases} 1, \ m = k + 1 \\ 0, \ m \neq k + 1 \end{cases}$$

yazılabilir. Bu durumda, tanımı belirsiz $\alpha^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}^{T}$ olacaktır. Yine dikkat edilirse, tanımı belirsiz üzerinden $\alpha^{2} = \alpha\times \alpha$ iken $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}^{T} \neq \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^{T} \times \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^{T}$önemli bir ayrıntıdır.

Tanımı belirsizin dikgenlik özelliği ile donatılmasıyla, yukarıdakilerine ek olarak bir başka bakış açısı daha elde edilmiş olur. Tanımı belirsizin bütün dereceleri $\Alpha = \begin{bmatrix} \alpha^{0} & \alpha^{1} & \alpha^{2} & \alpha^{3} \end{bmatrix}$ şeklinde bir araya getirilirse:

$$\Alpha = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

elde edilir ve çokterimlinin cebirsel yapısını koruduğu bilinen bir işlemler silsilesiyle:

$$\Alpha \begin{bmatrix} 1 & 9 & 0 & 3 \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$$

yazılabilecektir. Dikkatli bakılırsa, bu cebirsel yapı, aynı zamanda bir vektörün istenen herhangi bir $k$'ıncı nokta/koordinat bileşenine ait $c_{k}$ katsayısının belirlenmesine de yardımcı olur:

$$c_{k} = \vec{N}^{T} \alpha^{k}$$

Örnek olarak $\vec{N}$ için:

$$c_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 9 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = 9$$

katsayısı çokterimliden ayrıştırılabilir. Sonuç olarak, dikgenlik özelliği ile donatılmış bir çokterimli yapısı herhangi bir $\vec{N}$ nesnesini elde etmek için doğru katsayıları bir araya getirmenin yolunu gösterirken, aynı zamanda eldeki bir $\vec{N}$ nesnesinin hangi ağırlıklardan/katsayılardan/sabitlerden oluştuğunu öğrenmenin de yolunu gösterir. Söz konusu yapı, mühendislikteki en önemli iki yaklaşım olan, sırasıyla, çözümleme (analiz) ve birleştirme (sentez) ilkelerini bir arada içermektedir. Bu bağlamda:

$$\vec{N} =\sum\limits_{k=0}^{B-1}c_{k}\alpha^{k}$$

ifadesi birleştirmeyi gösterirken,

$$c_{k} = \vec{N}^{T} \alpha^{k}$$

ifadesi de çözümlemeyi gösterir.

Tartışma: Çokterimlilerin, Tanımı Belirsizler İçermesinin Nedeni

Bu noktaya kadar yürütülen tartışmalarda, belirli bir amaca yönelik olarak tanımı belirsizlerin sahip olması gereken cebirsel özelliklere yoğunlaşılmıştır. Elbette akla "matematiksel bir yapı içerisinde bu derece yüksek seviyede belirsizlik içeren nesnelere neden gereksinim duyulduğu" sorusu gelebilir. Bu sorunun yanıtı, cebirsel özellikleri sağlam bir biçimde belirlenen bu türdeki nesnelerin bu özellikleri korunarak, yapılarını değiştirmeden daha başka özellikleri ve öznitelikleri de içermelerinin sağlanabilmesi için gereken esnek ortamın oluşturulması olarak verilebilir. Somut bir örnek olması açısından, söz konusu başlığa yalnızca doğrusal uzaylar üzerinden bakıldığında, tanımı belirsiz(ler)in, eğer istenirse, birbirleri ile dikgen ilişkide olmasının da sağlanabileceği görülmektedir. Bir başka deyişle tanımı belirsiz(ler)in hangi özelliği sağlaması isteniyorsa, o özelliğe sahip olacak şekilde tasarlanması mümkündür. Bu esneklik, söz konusu nesnelerin neden tanımı belirsiz(ler) olarak adlandırıldığının da yanıtı olarak kabul edilebilir.