Yazılar · matematik

Sayı Tabanları ve Sayıların Gösterimi

Sayılar Üzerine

Matematikte bir nesnenin (küme, sayı, fonksiyon, vb.) ifadesi için çeşitli gösterimler bulunur. Birçok gösterim verimli ve etkin ifade için simgelerden yararlanır. Bazen de gösterimler, nesnelerin ya da nesnelerin ilişkilerini ifade etmede şekilleri (kutular, oklar, çizgiler, vb.) kullanmayı gerektirir.

Sayıların ne olduğu başlı başına matematikte önemli bir sorun iken, sayıların çeşitli özellikleri sağladığı düşünülen nesneler olduğu ön kabulü ile hareket ederek gündelik sorunların çözümüne gidilebilir. Dolayısıyla burada, sayıların ne olduğu sorunsalı daha ileride tartışılmak üzere sayıların nasıl gösterilebileceği konusuna değinilecektir. Yine de sayılara sağlam bir temel oluşturabilmek için matematikte bütün nesnelerin dayandırıldığı küme yaklaşımının burada benimsendiği söylenmelidir. İlgilenenler için matematikteki en temel nesnenin kümeden başka yapılar da olabileceği (örneğin "sınıf" adı verilen yapılar) ekollerin de (von Neumann) olduğu belirtilmelidir.

Matematikte ayrık ögelerden oluşan kümelerin gündelik hayata en önemli yansıması sayma sayılarıdır (S)(\mathbf{S}) ve sayma sayıları doğal sayıların (N)(\mathbf{N}) bir alt kümesidir (S⊂N)(\mathbf{S} \subset \mathbf{N}):

S={1,2,3,⋯ }\mathbf{S}=\{1,2,3, \cdots\}

Her ne kadar kümeler, içindeki ögelerin sıralı olup, olmaması ile ilgilenmeyen nesneler olsa da, yukarıdaki gösterimde ögelerin neyi temsil ettiklerinin anlaşılması için sıralamaya dikkat edilmiştir. Dolayısıyla, 1∈S1\in\mathbf{S} yazılabilirken, daha önce de değinildiği üzere 11 nesnesinin ne olduğunu tanımladan yola devam edilebilir.

Yukarıda (S)(\mathbf{S})'in birkaç temel özelliği göze çarpmaktadır:

  • Kümenin bir başlangıcı vardır,
  • Kümenin her bir ögesinden sonra mutlak surette bir başka öge gelir.

Dikkat edilirse, yukarıdaki özellikler 'sonra' ve 'başlangıç' sözcüklerinin kümeler açısından ne ifade ettiklerinin belirlenmesine muhtaçtır. Her ne kadar bu sözcüklerin küme kuramı çerçevesinde ayakları yere basan tanımları mevcutsa da, bu tanımlar söz konusu tartışmanın kapsamı dışındadır. Bu nedenle bu tanımların da ön kabullerden olduğu varsayılacaktır.

Sayma sayılarının başlangıcını temsil eden öge için 11 seçildiği varsayılsın. Burada dikkat edilmesi gereken nokta hangi simgenin seçildiğinin bir önemi olmamasıdır. Matematik, nesnelerin ne olduğundan ziyade üzerinde mutabık kalınmış nesnelerin arasındaki ilişkileri önemser. Aynı mantıkla, kümenin 'sonraki' ögesi için de bir belirleme yapılması gerekir. Bu yaklaşım, kümenin herhangi bir ögesinin ne olduğunu belirlemek için o ögenin başlangıç ögesine göre konumunu, dizinini ya da sırasını bilmeyi gerektirir. Bir başka deyişle, 11'den sonra gelen ögeden sonra gelen öge" ifadesi, 'sonra gelme' ifadesinin de sayılabilmesini gerektirir ki, bu da aksiyomatik olarak sayma sayılarının ya da doğal sayıların matematiksel bir yapı olarak elde edilebileceğini gösterir.

Sayıların Gösterimi Üzerine

Sayma sayılarının başlangıca göre konumlarının önemi, sayıların gösterilmesinde de kullanılabilir. Herhangi bir sayıyı göstermek ya da temsil etmek için, aynı bir dile ait abece gibi, sınırlı sayıda simge kullanmak çeşitli fiziksel nedenlerde ötürü (sınırlı yer, zaman, enerji, vb.) oldukça yararlıdır. Açıktır ki, sayıların simgelerin konumları üzerinden değerlendirilmesi şu soruların yanıtlarının verilmesini gerekli kılar:

  • Sayı abecesinde kaç adet simge bulunmalıdır?
  • Simgelerin konumlarının değerlendirilmesi nasıl yapılmalıdır?

tarihsel verilere bakıldığında ilk sorunun tek bir biçimde yanıtlanmadığı görülür. Günümüzde kullanılan "sayı abecesinde" on adet simge (rakam) kullanılmasının temelinde ise insanoğlunun ellerindeki parmak sayısının yattığına ilişkin görüşler bulunmaktadır. İkinci sorunun yanıtı ise doğrudan ilk sorunun yanıtına bağlıdır ancak kuralın ne olacağı konusunda hiçbir ön koşul bulunmaz. Doğal olarak, herhangi bir sayının temsilinde ikinci soruda bulunan "değerlendirme" ifadesinin belirlenmesi gerekir. Yukarıdaki bağlamda kullanılabilecek en yalın sayı gösterim sistemi ile başlamak, daha kapsamlı sistemlerin oluşturulmasında izlenen kuralları anlamada yardımcı olacaktır.

En yalın sayı gösterim sistemi, açıktır ki en yalın abeceden oluşur. En yalın abecede ise yalnızca bir adet simge olabilir zira içinde simge olmayan abecenin işleveselliği tartışmalıdır. İşlevselliği tartışmalı abece için A0=∅\mathcal{A}_{0} =\emptyset seçilsin. Açıktır ki, ∅\emptyset boş bir abecedir ve içerisinde hiçbir simge bulunmaz. İşlevselliği tartışmalı ifadesi, burada, özellikle seçilmiştir çünkü ∅\emptyset tek başına hiçbir anlam ifade etmezken, diğer olası abeceler söz konusu olduğunda önemli bir yardımcı görevi ifade edecektir. Söz konusu ilk boş olmayan abece A1\mathcal{A}_{1} ile gösterilirse, A1={a}\mathcal{A}_{1} =\{a\} olur. Abecede tek bir simge yani aa bulunduğu için sonraki nesne için yeni bir simge bulunamaz. Bunun yerine:

aaaa

gösterimi kullanılabilir. Tekrarlanan aa simgesi, daha önceden belirlenecek protokole göre ilk aa simgesinin sağına, günümüz latin yazım biçiminde sayı yazma kuralında olduğu gibi soluna, uzak doğu yazım biçimlerinde benimsendiği gibi üzerine ya da altına yazılabilir. Bu tamamen bir protokol sorunudur ve sayının gösterimindeki ilkeleri etkilemez. Burada, mevcut bilimsel dizinle uyumluluk adına tekrarlanan simgenin bir öncekinin soluna yazıldığı varsayılmıştır. Boş olmayan ilk abece, kendiliğinden ikinci sorunun da yanıtını vermektedir zira sol tarafa eklenen her bir simge, bir önceki simgeden sonra gelen simgeyi temsil etmektedir. Kolay anlaşılabilmesi için Arap rakamları kullanılarak:

a≜1a \triangleq 1

ve

aa≜2aa \triangleq 2

yazılabilir. Benzer şekilde aaa≜3aaa \triangleq 3 ve aaaaaaaaa≜9aaaaaaaaa \triangleq 9 olacaktır. Açıktır ki, söz konusu abece istenen sayıyı göstermek için geçerli bir kurala sahiptir. Tek sorun, gündelik hayatta sıkça kullanılan sayıları göstermek için oldukça fazla yer kaplayan bir gösterime sahip olunmasıdır. Abece boyutunda biraz cömert davranılıp, iki adet simgeye sahip bir abece olması halinde A2={a1,a2}\mathcal{A}_{2} =\{a_{1},a_{2}\} yazılabilir. Bu durumda Arap rakamları kullanılarak a1≜1a_{1}\triangleq 1, a2≜2a_{2}\triangleq 2 elde edilir. Burada bir başka önemli husus söz konusudur. Küme ögeleri a1a_{1}'in ya da a2a_{2}'nin hangisinin başlangıç simgesi olacağının bir önemi yoktur. Sayının gösteriminde bu tercihin bir etkisi olmamakla birlikte, tercih bir kez yapıldıktan sonra o tercihte kararlılıkla devam edilmesi gerekmektedir. Doğal olarak ilk sorun, Arap rakamları ile 33'ün mevcut abece ile nasıl gösterileceğidir. Daha önceden A1\mathcal{A}_{1} abecesinde kullanılan yöntem burada da tekrar edilirse ve abece içinde kullanılan simgelerin sırası gözetilirse 33 için şu

3≜{a1a1a1a2a2a1a2a23 \triangleq \begin{cases} a_{1}a_{1} \\ a_{1}a_{2} \\ a_{2}a_{1} \\ a_{2}a_{2} \end{cases}

seçenekler mevcuttur. Simgelerin gösterdikleri sayılar arasında a1<a2a_{1} < a_{2} olduğu varsayılırsa ve bunun bütün yeni eklenen konumlar için geçerli olduğu varsayılırsa a1a1<a1a2<a2a1<a2a2a_{1}a_{1} < a_{1}a_{2} < a_{2}a_{1} < a_{2}a_{2} sıralaması elde edilir. Bu durumda yukarıdaki listeden a1a1≜3a_{1}a_{1} \triangleq 3, a1a2≜4a_{1}a_{2} \triangleq 4, a2a1≜5a_{2}a_{1} \triangleq 5, a2a2≜6a_{2}a_{2} \triangleq 6 olması gerektiği sonucu çıkar.

Sayı gösteriminde hangi gösterimin hangi Arap rakamına karşılık geldiğini belirledikten sonra, tersi bir bakış açısıyla yukarıda ikinci sorunun yanıtı aranabilir: Herhangi bir a2<Na_{2} < N sayısının gösterimi nasıl bulunur? Dikkat edilirse gösterim, simgelerin konumunu (k⃗)(\vec{k}) özel bir kural ile bir değere (simgelenmek istenen sayıya) dönüştüren bir fonksiyondur: f(a1,a2;k⃗)f(a_{1},a_{2}; \vec{k}). Yukarıdaki sayı sisteminde f(a1,a2;k⃗)=∑la{1,2}×a2k⃗−lf(a_{1},a_{2}; \vec{k}) = \sum_{l}a_{\{1,2\}}\times a_{2}^{\vec{k}-l} olduğu görülebilir. Örneğe geçmeden önce, a2a1≜5a_{2}a_{1} \triangleq 5 sınanabilir. Verilen fonksiyon üzerinden a2×a22−1+a1×a21−1=2×21+1×20=5a_{2}\times a_{2}^{2-1} + a_{1}\times a_{2}^{1-1} = 2\times 2^{1} + 1\times 2^{0} = 5 elde edildiği doğrulanabilir. Aranan sorunun yanıtının bulunması için N=7N=7 seçilebilir. Bu durumda a1a1a1≜7a_{1}a_{1}a_{1} \triangleq 7 olacaktır. Görüldüğü üzere en yalın abece ile gösterilen sayıların abecenin genişletilmesi ile ikinci sorunun yanıtını da verdiği söylenebilir:

  • Sayı abecesinde kaç adet simge bulunmalıdır?
    • Boş olmayan herhangi bir sonlu uzunluklu simge kümesi abece olarak kullanılabilir.
  • Simgelerin konumlarının değerlendirilmesi nasıl yapılmalıdır?
    • Seçilen simgelerin temsil ettiği değerler ağırlıkları, simgelerin konumları da üstel mertebeleri göstermek üzere toplamsal bir yapı düşünülebilir.

Her ne kadar yukarıdaki sayı sistemi işlevsel olsa da önemli bir sorunu da beraberinde getirmektedir. Üstel mertebe ile seçilen simgelerin temsil ettiği değerler aynı olduğu durumda bir tür belirsizlik oluşur zira a2×a2k⃗−1=a1×a2k⃗a_{2}\times a_{2}^{\vec{k}-1} = a_{1}\times a_{2}^{\vec{k}} her zaman sağlanır. Bu durumda f(a1,a2;k⃗)=∑la{1,2}×a2k⃗−lf(a_{1},a_{2}; \vec{k}) = \sum_{l}a_{\{1,2\}}\times a_{2}^{\vec{k}-l} yerine, daha önceden yukarıda işlevselliği tartışmalı abecenin yardımıyla f(a1,∅;k⃗)=∑l{a1,∅}×a2k⃗−lf(a_{1},\emptyset; \vec{k}) = \sum_{l}\{a_{1},\emptyset\}\times a_{2}^{\vec{k}-l} yazılabilir. Bu gösterimin bir öncekinden farkı, sayma sayılarından farklı olarak N={0,1,2,⋯ }\mathbf{N} = \{0,1,2, \cdots\} üzerinden yürütülmesi ve ∅\emptyset kümesinin Arap rakamlarından sıfır ile temsil edildiğinin varsayılmasıdır.

Tüm bu yukarıdaki tartışmaların ışığında sayıların gösterimi için konumsal fonksiyon kullanıldığında aşağıdaki özelliklerin sağlandığı söylenebilir:

  • Gösterimde konum bilgisi çıktıya üstel mertebe olarak yansıtılır.
  • Söz konusu konumdaki abece simgesi, üstel mertebenin ağırlığıdır.
  • Gösterimin temsil ettiği sayı, tüm üstel mertebelerin ağırlıklandırılmış toplamıdır.

Yukarıdaki özelliklerde üstel mertebe ile kullanılan abecenin öge sayısı arasında da az önceki tartışma kapsamında bir ilişki de kurulabilir. Üstel terimi rr ile göstermek üzere seçilen abece Ar={0,1,2,⋯ ,r−1}\mathcal{A}_{r} =\{0,1,2, \cdots, r - 1\} olmak üzere herhangi bir N∈NN \in \mathbf{N} için al∈Ar,∀la_{l}\in \mathcal{A}_{r} , \forall l iken:

N≜∑l=0L−1alrlN \triangleq \sum\limits_{l=0}^{L - 1}a_{l}r^{l}

yazılabilir.

Onluk Sayı Sistemi

Tüm yukarıdaki tartışmalar ışığında, onluk sayı sisteminde r=10r=10 ve A10={0,1,2,⋯ ,9}\mathcal{A}_{10} =\{0,1,2, \cdots, 9\} olmak üzere herhangi bir N∈NN \in \mathbf{N} için al∈Ar,∀la_{l}\in \mathcal{A}_{r} , \forall l iken:

N≜∑l=0L−1al10lN \triangleq \sum\limits_{l=0}^{L - 1}a_{l}10^{l}

ya da

N=a0+a1×10+a2×100+⋯+aL−1×10L−1N = a_{0} + a_{1}\times 10 + a_{2}\times 100 + \cdots + a_{L-1}\times 10^{L-1}

olur.

Örnek:

Onluk sayı sisteminde 1903 sayısı gösterilmek istensin. Açıktır ki L=4L = 4 olmak üzere:

1903=3+0×10+9×100+1×10001903 = 3 + 0\times 10 + 9\times 100 + 1\times 1000

yazılır.

Hatırlatma:

Yukarıda verilen

N≜∑l=0L−1alrlN \triangleq \sum\limits_{l=0}^{L - 1}a_{l}r^{l}

ifadesi, matematikte sıkça kullanılan ve oldukça önemi bir araç olan kuvvet serisi kavramına atıfta bulunurken, nesnelerin birbirleri ile ilişkisi göz önünde bulundurulduğunda da doğrusal sistemler ve doğrusal cebir uygulamalarında sıkça kullanılan bir yapıdır.